时间：2023-12-28 20:00:02作者: 神座网来源：八字算命
八字形定理指的是：若一个简单多边形被所有对角线所分割成的所有四边形都是凸四边形，那么该多边形一定是八字形。
下面我们将会详细阐述八字形定理的证明过程，包括两个关键步骤。
首先我们需要证明八字形的十字点必须在中心，因为如果证明出了这点，那么八字形的证明就已经接近成功了。
这个定理可以通过反证法证明：如果八字形的十字点不在中心，那么根据对称性，必存在一个八字形的顶点不在其对应的顶点的对称点上，如下图：
但是这就意味着，八字形的这个顶点将连接一条对角线，而按照八字形的定义，对角线将把八字形分割成两个非八字形。假设不成立，八字形的十字点必然在中心。
步骤二有了步骤一的证明，我们可以利用归纳法证明一个更加一般化的结论：八字形的任意一个对角线在中心，如下图所示：
由于八字形是凸的，因此其任意三角形的外接圆都在八字形的外接圆内。在证明过程中我们可以对这个三角形施加归纳假设，即其对角线都在中心。我们考虑凸四边形ABCD（其中BD即八字形的对角线），如下图所示：
由于ABCD是凸的，我们可以将其分成三角形ABC和ABD。由归纳假设，对角线AC和BD均在中心。此时，连接点C和D，分别在线段AB和线段CD上得到点E和F。再连接点A和F，以及点B和E，得到两个新的对角线AF和BE，如下图所示：
注意到，由于八字形的十字点在中心，因此AE和BF相交于中心，而此时BF与CD也相交于另一点G。这就得到了五边形ABFGE。由于凸五边形必然至少存在一条对角线在外部，因此我们只需要证明这条对角线必然构成非八字形的即可。
我们假设这条外部的对角线连接点A和C。那么根据非八字形的定义，四边形ABCG至少存在一个凹顶点H，如下图所示：
但是这将违背凸四边形ABCD的定义，因此我们要求的外部对角线不存在，而八字形的对角线必然都在中心。
至此，八字形定理的证明过程完成了。
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