八字形，八字形三角形典型例题

八字形

在几何学中，八字形的定义为一种“类似数字‘8’的形状”，具有两条平行的线段，连接在中间的两个轨迹是两个互相垂直的圆弧。八字形在数学、美术、工程等领域中都有广泛的应用。在三角形的学习中，八字形三角形也是一种非常典型的例题。八字形三角形是指一种内部构成为八字形的三角形。也就是说，在三角形的内部存在一种类似八字形的形状。这种形状的特殊性质使得八字形三角形有着许多有趣的性质和应用。下面我们就来看一些典型的例题。

八字形三角形典型例题

【例1】如图所示，正方形ABCD，点M、N分别为边CD、DA的中点，AE平分∠BAD，BF平分∠ABC。连接AM、BN，交于点O，连接FO、EO，交边AB、CD于点P、Q。求证OP=CQ。

解：如图，首先易证∠AMB=∠ANB=45°。由于FO、EO分别平分∠ABD、∠DAB，所以∠FOE=90°。从而∠AOF=∠BOE=45°。再由于∠APE=∠EPQ=∠CQD=∠DQP=45°，且∠QCD=∠QPD，故四边形CQDP为等腰梯形，从而CQ=DP。

同理，可证OP=DB，又因为MN为CD的中点，所以OP=CQ，即证毕。

【例2】如图所示，八字形ABCDFE的小圆与大圆相切于点H，过点H分别作⊙O的切线HE、HF，交⊙O于点M、N。求证：MN平分DE。

解：如图，连接AD，O、H分别为正八边形OABCDE、正六边形HABCDF的重心，所以OH⊥AD（垂线定理）。又因为OH平分∠EAH和∠FHD（中位线定理），所以EH=HF，$\\∠\\EMN=\\∠\\ENM=90°$，NM是⊙O的直径。因为∠HNE=∠HME=90°，所以MN是⊙H的直径。因此NM平分DE，即证毕。

通过以上两个例题，我们可以发现，八字形三角形的特殊性质可以帮助我们推导和证明许多三角形的性质。在学习中，我们应当注重掌握其特殊性质，透彻理解八字形三角形的应用。